Induksi Matematika, Pengertian, Sejarah dan 3 Jenisnya

Kotaku.id – Setelah membahas logika Matematika, kali ini kita akan membahas induksi Matematika yang merupakan materi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri adalah salah satu dari materi Matematika yang mempelajari pernyataan yang bisa bernilai benar atau salah. Ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang membantu kehidupan manusia. Ilmu Matematika akan membantu seseorang dalam melatih kemampuannya untuk berpikir kreatif, kritis serta mampu menyelesaikan masalah. Dan hingga kini, materi mengenai matematika pun terus berkembang.

Salah satunya adalah induksi Matematika yang juga mempunyai banyak kegunaan, dan salah satunya berguna untuk memasukkan data pada suatu program. Seperti contohnya, induksi Matematika yang digunakan untuk membuat program komputer serta teknologi ATM.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Atau suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum. Sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar.

Dalam induksi ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli. Selain itu, induksi dalam Matematika juga dapat berarti sebagai cara pembatalan atau pernyataan Matematika. Atau dengan kata lain merupakan sebuah rumus sebagai suatu metode pembuktian atas suatu pernyataan. Metode induksi dalam Matematika adalah salah satu kegiatan penalaran deduktif yang memiliki kaitan dengan pembuktian Matematika.

Sedangkan dalam ilmu Matematika, induksi Matematika adalah suatu dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli. Pembuktian dari suatu pernyataan sistematis dengan induksi ini dilakukan pada objek Matematika yang memiliki sifat diskrit. Seperti contohnya, teori bilangan, teori graf dan kombinatorika.

Langkah-Langkah Induksi Matematika

Para ahli Matematika, menggunakan induksi Matematika untuk menjelaskan pernyataan Matematika yang telah diketahui kebenarannya. Adapun prinsip dari induksi Matematika, dapat dijelaskan secara umum dalam dua tahap yaitu langkah awal atau disebut asumsi induktif serta langkah induksi dasar.

Penggunaan induksi Matematika, utamanya dilaksanakan pada tiga jenis masalah Matematika. Antara lain adalah seri umum, habis dibagi dua dan ketidaksetaraan. Kemampuan untuk pembuktian induksi Matematika secara benar, digunakan pada suatu konsep Matematika dan ditentukan melalui pemahaman relasional.

Untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan, memerlukan tiga langkah dalam induksi Matematika. Berikut ini adalah langkah-langkahnya Langkah-langkahnya.

• Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
• Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
• Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Sedangkan untuk menerapkan induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P (k) yang diberikan. Dan untuk menyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

Sejarah Penggunaan Induksi Matematika

Berikutnya adalah mengenai sejarah induksi Matematika. Pierre de Fermat membuktikan bahwa pada konjektur fermat, persamaan tidak dapat menghasilkan bilangan bulat dengan bentuk positif pada sembarang bilangan bulat dengan nilai lebih dari dua.

Menurut para ahli Matematika, diperlukan waktu lebih dari tiga abad untuk menemukan pembuktian konjektur Fermat. Di tahun 1994, konjektur Fermat dibuktikan oleh seorang ahli Matematika dari Inggris bernama Andrew Wiles. Sedangkan sejarah dari penggunaan induksi Matematika dijelaskan oleh Bussey dalam artikelnya yang ditulis pada tahun 1917.

Dalam artikel tersebut, ia menjelaskan bahwa proses induksi Matematika telah digunakan pertama kali oleh D. Franciscus Maurolicus (1494-1575). Ahli Matematika dari Italia digunakan dalam bukunya yang terbit tahun 1575. Pada saat itu, Maurolicus menggunakan metode induksi Matematika untuk membuktikan bahwa bilangan ganjil terbentuk dengan cara berturut-turut menambahkan dua pada bilangan ganjil pertama yaitu 1.

Pembuktian lain yang berhasil diperoleh Maurolicus dengan induksi adalah jumlah n dan bilangan ganjil pertama merupakan kuadrat n. Pembuktian matematika yang dilakukan oleh Maurolicus ini tidak pernah menggunakan istilah induksi. Istilah induksi baru pertama kali digunakan pada tahun 1956 oleh John Wallis. Dalam bukunya yang berjudul Arithmetica Infinitorum, Wallis menggunakan istilah per modum inductions.

Rumus Prinsip Induksi Matematika

Pada tahun 1838, Agustus de Morgan memperkenalkan istilah induksi Matematika pada publik dengan menulis artikel berjudul Induction untuk jurnal Penny Cyclopedia. Kemudian tahun 1889, Giuseppe Peano merumuskan prinsip induksi Matematika dalam lima aksioma. Dalam kelima aksioma tersebut, disajikan definisi lengkap mengenai bilangan asli. Dan berikut ini adalah kelima aksioma tersebut.

• 1 adalah bilangan asli
• Ada satu bilangan turutan yang memiliki sifat unik dan bentuk bilangan asli pada setiap bilangan asli.
• Bilangan turutan yang sama mustahil ditemukan di dua bilangan asli yang berbeda-beda.
• 1 bukanlah bilangan turutan dari seberang bilangan asli.
• Sifat yang dimiliki oleh bilangan 1 serta turutan semua adalah bilangan asli, pasti dimiliki juga oleh seluruh bilangan asli.

Jenis-Jenis Induksi Matematika

Dengan menggunakan metode induksi Matematika bisa menyelesaikan berbagai macam permasalahan matematis. Dan metode induksi Matematika dibedakan menjadi tiga jenis, antara lain adalah deret bilangan, pembagian dan pertidaksamaan. Berikut penjelasannya.

1. Deret Bilangan

Pada jenis deret bilangan, biasanya persoalan induksi Matematika ditemui dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Maka, pada persoalan deret bilangan harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke k serta terakhir suku ke (k+1).

Berikut ini adalah beberapa contohnya.

1. Sebagai contoh dibuktikan secara induksi Matematika bahwa 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1).

Jawabannya adalah : Langkah 1
untuk n = 1, maka :

1 = \frac{1}{2}n(n + 1)

1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)

1 = 1

Bentuk untuk n = 1, (rumus tersebut benar)

Untuk langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka:

1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)

Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)

Dan terakhir adalah pembuktiannya:

1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1) (dalam langkah 2, kedua ruas

ditambah k + 1)

= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)] . (k + 1) dimodifikasi menyerupai \frac{1}{2} k (k + 1))

= \frac{1}{2}k(k + 1) + 2(k + 1)

= \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)

= \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)

1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2) (terbukti)

2. Pembagian

Selanjutnya adalah jenis induksi pembagian. Jenis induksi Matematika pembagian biasanya akan Anda jumpai pada berbagai macam soal yang menggunakan kalimat berikut ini:

• A habis dibagi dengan B
• B faktor dari A
• B membagi A
• A adalah kelipatan dari B

Keempat ciri tersebut, menjadi petunjuk bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan jenis pembagian. Dan beberapa hal yang perlu Anda ingat antara lain adalah.

• Jika bilangan A habis dibagi dengan B, maka A=B:M dengan M adalah bilangan bulat.
• Maka, jika p habis dibagi a serta q habis dibagi a, sehingga (p + q) juga akan habis dibagi a.
• Contohnya adalah , 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) pun akan habis dibagi dengan bilangan 2.
• Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, maka terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.
• Bilangan bulat a akan habis dibagi bilangan bulat b, jika dijumpai bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = bm.
• Misalnya, “10 habis dibagi 5” (benar ), sebab adanya bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2.
• Maka, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat dituliskan menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”

3. Pertidaksamaan

Jenis induksi Matematika yang selanjutnya adalah pertidaksamaan. Jenis pertidaksamaan ditandai dengan adanya tanda lebih dari atau kurang dari yang ada pada pernyataannya. Terdapat sifat-sifat yang seringkali digunakan untuk menyelesaikan induksi matematika jenis pertidaksamaan. Sifat tersebut adalah sebagai berikut:

a > b > c ⇒ a > c atau a < b < c ⇒ a < c

a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc

a < b ⇒ a + c < b + c atau a > b ⇒ a + c > b + c

Konsep Dasar Induksi Matematika

Konsep dasar dari induksi Matematika bisa diumpamakan ketika ada seseorang meletakkan domino yang berderet sangat panjang. Dan saat ada orang yang menjatuhkan domino pertama ke arah domino kedua, maka domino ketiga, keempat, kelima dan seterusnya akan ikut jatuh.

Konsep dasar ini sangat sederhana, ketika seseorang hendak membuktikan atau menguji suatu rumus, maka ia harus memastikan bahwa rumus tersebut benar untuk seluruh bilangan. Dan dalam hal ini yang dimaksud adalah bilangan asli.

Contohnya : Jika ada satu deret bilangan asli 1,2,3,4,5,…, n. Maka jumlah deret bilangan (Sn) untuk n = 3 adalah 1+2+3 = 6. Jika n= 4, S4 = 1+2+3+4 = 10. Jika n = 5, S5 = 15.

Namun, masalahnya adalah apakah rumus tersebut berlaku secara universal dan berlaku untuk semua kasus atau hanya pada kasus tertentu saja? Maka, untuk membuktikan bahwa rumus tersebut, Anda bisa menggunakan prinsip efek domino.

Jika domino pertama jatuh, maka domino kedua pun harus jatuh dan domino ketiga pun harus ikut jatuh. Begitu juga dengan domino keempat dan seterusnya. Dari prinsip tersebut, maka secara sistematis ada dua langkah yang bisa Anda gunakan.

Basic step: untuk n = 1, rumus S1 adalah benar.

Inductive Step: jika rumus tersebut benar untuk n = k, maka rumus tersebut juga benar untuk n = k+1, dengan k ≥ 1

Dengan mengacu pada efek domino secara matematis, maka Anda perlu memasukkan n = 1 pada rumus Sn. Maka, untuk n = 1, rumus di atas adalah benar. Langkah selanjutnya, Anda perlu menguji dengan memasukkan n = k dalam rumus Sn. Sedangkan untuk inductive step, jika rumus tersebut benar untuk n = k, maka ia pun harus dibenarkan untuk n = k+1.

Perlu diketahui bahwa basic step adalah bagian paling dasar dalam pembuktian induksi. Tanpa adanya basic step, pembuktian dengan menggunakan cara induksi tidak akan menjadi sempurna.

Penutup

Demikian tadi pengertian, sejarah dan jenis-jenis dan konsep dasar induksi Matematika. Dengan memahami setiap pertanyaannya, maka Anda akan mengetahui cara menyelesaikannya dengan rumus yang tepat.