Home Lainnya Mengenal Logika Matematika, Pengertian dan 8 Jenisnya

Mengenal Logika Matematika, Pengertian dan 8 Jenisnya

By Slamet Junianto - 30 October 2023, 11:00

Kotaku id – Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang logika Matematika? Lalu apa sih yang di maksud dengan logika Matematika, dan apa saja jenis-jenisnya? Logika matematika adalah salah satu cabang ilmu Matematika yang mempelajari tentang pola pikir secara logis untuk bisa menarik kesimpulan berdasarkan kondisi-kondisi yang saat ini terjadi.

Banyak yang mengira bahwa logika bukan salah satu materi pelajaran Matematika, karena memang jarang bermain dengan angka di dalamnya. Namun nyatanya, Anda pasti akan mempelajari logika matematika di bangku SMA.

Meskipun terbilang rumit, namun pelajaran logika Matematika nantinya akan sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari. Terutama, untuk menarik sebuah kesimpulan. Dan untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah pengertian logika Matematika secara detail dan berbagai jenis-jenisnya.

Pengertian Logika Matematika

Adapun pengertian logika Matematika adalah penalaran atau landasan secara logis untuk menarik kesimpulan dari suatu kondisi tertentu. Logika matematika menjadi landasan untuk memperoleh kebenaran yang didasari dengan pembuktian juga pemikiran yang rasional. Sedangkan dikutip dari bahan ajar Universitas Negeri Yogyakarta karya Nur Insani.

Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah atau valid. Terdapat 2 jenis penalaran yang harus Anda ketahui, antara lain berikut ini.

Penalaran deduktif, yaitu penalaran berdasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik kesimpulan dengan pola tertentu.
Penalaran induktif, yaitu penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.

Maka dari itu, logika matematika adalah ilmu logika yang menggunakan bahasa matematika, yang menggunakan lambang-lambang atau simbol-simbol matematika. Adapun keuntungan dari penggunaan simbol pada logika matematika adalah sebagai berikut.

Lebih ringkas.
Univalent atau bermakna tunggal.
Universal atau dapat dipakai dimana-mana.

Atau dengan kata lain logika Matematika digunakan untuk mempelajari cara penalaran manusia dalam bentuk kalimat-kalimat tertentu. Dan penalaran tersebut dibuat berdasarkan pada premis-premis yang tersedia. Logika matematika, biasanya diterapkan untuk mencari pembenaran dari suatu proporsi atau pernyataan. Lalu apa saja jenis-jenis logika Matematika? Berikut ini penjelasan selengkapnya.

Jenis-Jenis Kalimat dalam Logika Matematika

Sebelum kita membahas tentang jenis-jenis logika matematika, kita harus tahu tentang jenis-jenis kalimat terlebih dahulu. Kalimat dalam Matematika terbagi menjadi dua macam, yaitu kalimat deklaratif dan kalimat non-deklaratif. Kalimat deklaratif adalah sebuah kalimat pernyataan yang memiliki nilai logika benar atau salah (kalimat tertutup). Kalau benar ya benar, dan kalau salah ya salah (tidak ambigu).

Lalu, kapan suatu pernyataan dibilang benar? Terkait dengan materi logika matematika, suatu kalimat deklaratif dinyatakan benar, jika pernyataan tersebut berlaku untuk umum dan sesuai dengan keadaan yang sebenarnya (faktual). Dan berikut ini adalah beberapa contohnya.

1. Contoh Kalimat Logika Matematika

Berbicara tentang kalimat pada logika Matematika, berikut ini adalah contoh kalimat logika Matematika.

1. Contoh kalimat deklaratif dalam logika Matematika.

Adinda dinyatakan lulus SMA karena nilainya di atas KKM. (Benar secara umum)
Budi tidak masuk sekolah karena sakit. (Benar secara faktual)

Lalu, bagaimana dengan kalimat non-deklaratif? Tentu saja, kalimat non-deklaratif adalah merupakan kebalikan dari kalimat deklaratif. Dalam materi logika Matematika, kalimat non-deklaratif adalah kalimat yang belum atau tidak memiliki nilai logika. Kalimat non-deklaratif ini biasanya berupa kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat terbuka.

Lalu, apa yang dimaksud dengan kalimat terbuka? Dalam materi logika matematika, kalimat terbuka adalah kalimat yang masih belum jelas nilai kebenarannya. Dalam kalimat terbuka biasanya memuat variabel. Dan jika variabel pada kalimat tersebut diganti dengan suatu nilai, maka kalimat terbuka tersebut akan berubah menjadi kalimat tertutup.

Contoh soal logika matematika:

2x – 1 = 9 (kalimat terbuka)

Apabila x = 5, maka pernyataan tersebut bernilai benar

Apabila x = 3, maka pernyataan tersebut bernilai salah

Jenis-Jenis Logika Matematika

Setelah mengetahui pengertian dan jenis-jenis kalimat logika Matematika. Berikut ini adalah jenis-jenis Logika Matematika.

1. Preposisi

Adapun jenis-jenis logika Matematika yang pertama adalah Preposisi atau pernyataan. Adapun pengertian dari Preposisi atau pernyataan adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah, tapi tidak keduanya. Nilai benar atau salah suatu preposisi juga disebut sebagai nilai kebenaran preposisi tersebut. Sedangkan nilai kebenaran sangat bergantung pada realitas atau fakta yang sebenarnya terjadi.

Ada 2 jenis preposisi yang perlu Anda ketahui, yakni sebagai berikut.

Preposisi sederhana, yaitu preposisi yang tidak mengandung kata hubung.
Preposisi majemuk, yaitu preposisi yang terdiri atas satu atau lebih pernyataan sederhana dengan kata hubung.

Preposisi dengan nilai kebenaran benar biasa disebut sebagai B (benar). Sedangkan preposisi dengan nilai kebenaran salah bisa disebut sebagai S (salah). Preposisi adalah pernyataan, sehingga kalimat perintah dan kalimat pertanyaan tidak termasuk preposisi. Contoh preposisi adalah sebagai berikut:

Indonesia adalah negara hukum.
Kucing adalah hewan mamalia dari keluarga Felidae.
Nyamuk Aedes Aegypti menyebabkan penyakit demam berdarah dengue (DBD).

Preposisi tidak hanya terdiri dari satu kalimat saja, namun juga bisa terbentuk dari dua kalimat. Dilansir dari Stanford University, logika Matematika dapat menentukan bagaimana kebenaran dalam satu preposisi ataupun kombinasi preposisi yang memengaruhi satu sama lain.

2. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel pe-ubah sehingga nilai kebenarannya belum dapat ditentukan. Kalimat ini masih menjadi kalimat terbuka, tidak ada yang tahu apakah kalimat itu benar atau salah.

Contoh kalimat terbuka adalah sebagai berikut.

1. x adalah bilangan ganjil.
x + 3 < 10
Satu-satunya cara menyelesaikan soal kalimat terbuka adalah dengan menyusun himpunan seluruh anggota dari S. Yang jika disubstitusikan ke pe-ubah akan menghasilkan pernyataan yang benar.

Maka, cara penyelesaian contoh di atas adalah sebagai berikut.

x adalah bilangan ganjil, maka x adalah himpunan bilangan dari 1, 3, 5, 7, 9, dan seterusnya.
x + 3 < 10, maka x adalah himpunan bilangan dari 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

3. Pernyataan Tunggal atau Ingkaran

Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang dapat berdiri sendiri, sehingga tidak membutuhkan tanda hubung. Dan ingkaran termasuk dalam pernyataan tunggal. Ingkaran, atau biasa disebut juga dengan negasi, merupakan penolakan dari pernyataan yang sudah ada. Dan ingkaran merupakan kebalikan dari preposisi.

Nilai kebenaran dalam ingkaran tentu saja bertolak belakang dari nilai kebenaran pernyataan semula. Ingkaran adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata tidak atau bukan pada pernyataan semula. Ingkaran dilambangkan dengan ~. Maka, jika suatu preposisi awal (P) bernilai benar, maka pernyataan ingkaran (~P) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya.

Berikut ini adalah beberapa contoh pernyataan ingkaran..

S: Manusia memiliki sayap.
B: Manusia tidak memiliki sayap.
P : Semua anak-anak suka bermain air.
Maka, ~P : Ada anak-anak yang tidak suka bermain air.

4. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri atas beberapa pernyataan tunggal, lalu dihubungkan dengan kata hubung tertentu. Dan biasanya menggunakan kata hubung dan, atau, jika-maka, bila dan hanya bila.

Berikut ini contoh pernyataan majemuk.

Jika air dipanaskan, maka air akan mendidih.
Andi sedang menonton TV atau membaca buku.
Yogyakarta adalah kota pelajar dan mempunyai banyak objek wisata yang menarik.

Berikut ini adalah jenis-jenis pernyataan majemuk berdasarkan kata hubung yang digunakan.

5. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “dan”, biasanya menggunakan lambang ∧. Sebuah konjungsi akan bernilai benar hanya jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar.

Misalnya, sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan A dan B. Maka:

Jika A dan B benar, maka konjungsi tersebut bernilai benar.
Jika A benar dan B salah, maka konjungsi tersebut bernilai salah.
Jika A salah dan B benar, maka konjungsi tersebut bernilai salah.
Jika A dan B salah, maka konjungsi tersebut bernilai salah.

6. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “atau”, dan biasanya dilambangkan dengan ∨. Ada 2 jenis disjungsi, yakni sebagai berikut.

Disjungsi inklusif yang bernilai benar, jika minimal 1 pernyataan tunggalnya benar.
Disjungsi eksklusif yang bernilai benar, jika salah satu (tidak boleh keduanya) dari pernyataan tunggalnya benar.

Untuk disjungsi inklusif, apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan A dan B, maka.

Jika A dan B benar, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
Jika A benar dan B salah, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
Jika A salah dan B benar, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
Jika A dan B salah, maka disjungsi tersebut bernilai salah.

Sedangkan untuk disjungsi eksklusif, jika sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan A dan B, maka.

Jika A dan B benar, maka disjungsi tersebut bernilai salah.
Jika A benar dan B salah, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
Jika A salah dan B benar, maka disjungsi tersebut bernilai benar.
Jika A dan B salah, maka disjungsi tersebut bernilai salah.

7. Implikasi

Berikutnya adalah Implikasi, yaitu kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung jika-maka. Biasanya, iImplikasi dilambangkan dengan tanda panah 1 arah (→). Pernyataan pertama disebut sebagai anteseden dan pernyataan kedua disebut sebagai konsekuen. Biasanya implikasi digunakan untuk:

Menyatakan suatu syarat.
Menyatakan hubungan sebab akibat.
Menyatakan peristiwa yang akan terjadi dari suatu tanda.

Suatu implikasi bernilai benar, jika antesedennya salah atau konsekuennya benar. Apabila sebuah kalimat majemuk terdiri atas anteseden A dan konsekuen B maka.

Jika A dan B benar, maka implikasi tersebut bernilai benar.
Jika A benar B salah, maka implikasi tersebut bernilai salah.
Jika A salah dan B benar, maka implikasi tersebut bernilai benar.
Jika A dan B salah, maka implikasi tersebut bernilai benar.

8. Ekuivalensi

Ekuivalensi atau biasa disebut dengan biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “bila dan hanya bila”. Biasanya ekuivalensi dilambangkan dengan tanda panah 2 arah (↔).

Ekuivalensi akan bernilai benar, jika kedua pernyataan tunggalnya memiliki nilai kebenaran yang sama. Seperti misalnya, jika sebuah kalimat majemuk terdiri atas pernyataan A dan B, maka: