Rumus Persamaan Kuadrat Matematika, Pemfaktoran dan Contoh Soalnya

Kotaku.id – Setelah membahas rumus trigonometri maka kali ini kita akan membahas tentang rumus persamaan kuadrat Matematika. Dalam Matematika kita akan mengenal berbagai macam istilah, salah satunya adalah persamaan kuadrat Matematika. Materi ini biasanya akan dipelajari para siswa saat masuk ke bangku SMP dan SMA.

Melalui rumus persamaan kuadrat Matematika, para siswa nantinya dapat menyelesaikan berbagai macam soal tentang persamaan aljabar. Dan untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari rumus ini dan juga metode lain yang digunakan untuk menemukan persamaan kuadrat. Melalui berbagai contoh soalnya.

Mengenal Rumus Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan bentuk model matematika yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan memiliki pangkat tertinggi yaitu dua. Al-khawarizmi atau yang juga dikenal sebagai bapak aljabar adalah merupakan penemu dari rumus ABC yang digunakan untuk memecahkan persamaan kuadrat selama berabad-abad.

Rumus tersebut pertama kali muncul dalam buku karyanya yang terkenal, dengan nama kitab Al Mukhtasar fi Hisab Al Jabr wal Muqabbala. Melalui rumus persamaan kuadrat yang satu ini, Anda yang sedang duduk di bangku SMP atau SMA dapat menyelesaikan berbagai soal mengenai persamaan aljabar.

Apa yang Dimaksud Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan orde kedua atau pangkat dua tertinggi. Selain dalam pelajaran Matematika di sekolah, persamaan kuadrat juga sering Anda temukan dalam kehidupan sehari-hari. Penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari dapat Anda temukan dalam semua aspek pembentukan parabola atau kurva.

Karena bentuk ini merupakan bentuk diagram persamaan kuadrat. Seperti contohnya dapat ditemukan dalam bentuk pelangi, atau dalam olahraga, seperti melepaskan anak panah dan sebagainya. Adapun bentuk umum dari persamaan kuadrat ini ax2+bx+c=0. Sedangkan bentuk umum rumus persamaan kuadrat adalah meliputi a,b dan c ϵ R dan a≠0.

Dimana a adalah koefisien kuadrat dari x², b adalah koefisien linier b dari x, sedangkan c adalah koefisien konstan, yang juga dikenal sebagai istilah independen. Perlu diketahui, jika rumus persamaan kuadrat dengan akar persamaan kuadrat sebenarnya adalah sama. Jadi, jangan heran jika kedua formula tersebut sangat mirip. Sehingga Anda pun bisa menggunakannya untuk memecahkan semua persoalan yang terkait.

Cara Mengetahui Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Lalu bagaimana cara mengetahui akar-akar persamaan kuadrat? Metode, solusi dan penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar persamaan kuadrat. Akar persamaan kuadrat mengacu pada nilai variabel x yang dipenuhi ketika disubstitusikan ke dalam persamaan.

Ada beberapa cara untuk dapat menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat

• Cara pertama adalah faktorisasi. Dan metode memfaktorkan persamaan kuadrat adalah cara paling sederhana untuk menemukan akar kuadrat dalam suatu persamaan.
• Jika faktorisasi tidak memungkinkan, maka metode selanjutnya adalah menggunakan rumus persamaan kuadrat ABC.
• Cara lain adalah dengan melengkapi kuadrat sempurna.

Untuk lebih jelasnya silakan Anda simak ulasannya berikut ini.

1. Pemfaktoran

Pemfaktoran atau faktorisasi adalah ekspresi dari penjumlahan suku-suku aljabar pada perkalian faktor-faktor. Dan dari persamaan kuadrat ini, Anda bisa membuat persamaan kuadrat menjadi produk dua persamaan linier.

Berikut ini adalah contoh dari pemfaktoran.
x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)
2×2 + 10x + 12 = (2x + 4)(x + 3)
4×2 – 5x = 4x(x – 5)
x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
Contoh tersebut difaktorkan secara langsung, Dan dalam contoh tadi terdapat empat bentuk persamaan kuadrat. Dan keempat bentuk persamaan kuadrat itu berupa:

• Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
• Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dan a ≠ 0
• Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx atau nilai c = 0
• Persamaan kuadrat bentuk x2 – c atau nilai b = 0

Selanjutnya, dalam setiap bentuk persamaan kuadrat, ada beberapa cara untuk memfaktorkan atau mencari solusi bilangan bulat. Berikut ini adalah metode faktorisasi untuk membantu Anda agar lebih memahami analisis faktor.

2. Metode Faktorisasi

Agar bisa memahami analisis faktor dengan mudah, Anda bisa menggunakan metode faktorisasi. Berikut ini rumusnya.

1. Akar persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1

Selanjutnya, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a = 1 melalui metode pemfaktoran. Selanjutnya, Anda bisa mengikuti dua langkah mudah berikut ini.

• Pertama tentukan dua angka misalnya saja pilih p dan q. Selanjutnya, jika dijumlahkan hasilnya akan sama b juga, dan jika dikalikan hasilnya juga sama a × c. Dengan metode ini, cara penyelesaian peperangan akan semakin mudah dan praktis.
• Kemudian, untuk menentukan nilai pasangannya secara mudah, Anda bisa mencari bilangan berupa faktor dari ac tersebut.
• Jika kedua jika nilai p dan q tersebut sudah ditentukan, maka masukan nilai keduanya pada rumus persamaan kuadrat pemfaktoran.

2. Akar persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

Selanjutnya adalah cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 1 dengan pemfaktoran.

Untuk menyelesaikannya, Anda bisa melalui beberapa tahap penyelesaian yang cukup mudah. Sehingga dengan ketentuan akar persamaan kuadrat tersebut Anda bisa mencari terlebih dahulu nilai dari p dan q dengan cara yang sama.

3. Akar kuadrat dengan bentuk ax2 + bx

Cara untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat dengan bentuk ax2 + bx = 0 juga cukup mudah.
Anda hanya perlu mengubah bentuk persamaan kuadrat tersebut pada bentuk perkalian dari faktor aljabar dalam variabel x.

Berikut ini langkah-langkahnya

ax2 + bx = ax(x + b/a) = 0
ax(x + b/a) = 0
ax = 0 atau x + b/a = 0
x = 0 atau x = –b/a

Sehingga akar dari rumus persamaan kuadrat dengan bentuk ax2 + bx = 0 tersebut adalah 0 atau –b/a

4. Akar persamaan kuadrat bentuk x2 – c

Terakhir adalah cara menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk x2 – c yang bisa mengubah bentuk perkalian dari faktornya.

Berikut ini cara penyelesaiannya.

x2 – c = (x – b)(x + b) dengan b = √|c|
Dengan demikian diperoleh pula rangkaian akarnya adalah –b juga b.

3. Rumus Kuadrat ABC

Ada tiga metode yang dapat Anda gunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Yaitu dengan memfaktorkan, melengkapi bentuk kuadrat dan rumus ABC. Dan di antara ketiga metode tersebut, rumus ABC merupakan metode yang paling populer untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Dan dianggap paling sederhana.

Rumus ABC sendiri sebenarnya bisa Anda dapatkan dengan menyelesaikan langkah mengkuadratkan untuk menyelesaikan rumus persamaan kuadrat. Melalui proses ini, Anda akan memperoleh rumus-rumus dalam a, b, dan c, sehingga rumus ini disebut rumus ABC
Huruf a, b, dan c dalam rumus ABC disebut koefisien.

Koefisien kuadrat dari x2 adalah a, koefisien x adalah b. Sedangkan c adalah konstanta atau koefisien konstanta. Persamaan kuadrat yang digunakan dalam rumus ABC umumnya ax2+bx+c=0.

Selain rumus persamaan kuadrat, rumus ABC juga memiliki rumus sendiri yang dapat digunakan untuk mencari nilai x. Ini penjelasannya:

Untuk digunakan sebagai solusi masalah kuadrat, rumus ABC memiliki beberapa aturan. Antara lain sebagai berikut.

• Di dalam rumus ABC, didapati nilai diskriminan, yakni nilai d sudah diterapkan dalam rumus ABC yaitu b2 – 4ac
• Nilai a juga tidak boleh 0 atau a≠0
• Jika nilai D < 0, maka nilai dari akar-akarnya tidak real Jika nilai D > 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai x1, x2 R). Serta nilai x1 tidak sama dengan nilai x2 atau x1 ≠ x
• Jika nilai D = 0, maka nilai dari akar-akar dikatakan real (dengan catatan nilai x1, x2 R). Serta nilai x1 sama dengan nilai x2 atau x1 = x.

4. Melengkapi Kuadrat Sempurna

Selanjutnya adalah rumus persamaan kuadrat Matematika dengan metode melengkapi kuadrat sempurna. Kuadrat sempurna adalah bentuk persamaan kuadrat yang hanya terdiri dari satu bentuk kuadrat dan satu konstanta saja.

Metode penyempurnaan kuadrat sempurna berguna untuk mengubah bentuk umum persamaan kuadrat ax² bx c = 0 menjadi bentuk kuadrat a (xd) ². Dan disetarakan dengan konstanta e, menjadi a (xd) ² e = 0. Nilai konstanta e adalah nilai keseimbangan kuadrat dari bentuk sempurna persamaan.

Metode pemurnian kuadrat sempurna ini kemudian juga dijelaskan secara geometris. Dan hal tersebut bertujuan untuk menyeimbangkan bentuk kuadrat dengan rumus persamaan kuadrat yang ditransformasikan. Bentuk umum persamaan kuadrat dapat digambarkan secara geometris sebagai persegi dan persegi panjang. Kuadrat mewakili kuadrat dari suatu koefisien, nilai serta variabel.

Contoh Soal dengan Rumus Persamaan Kuadrat Matematika

Untuk memudahkan pemahaman Anda, berikut ini adalah beberapa contoh soal yang menggunakan rumus persamaan kuadrat Matematika. Yang bisa Anda jadikan sebagai bahan referensi pembelajaran Anda.

1. Selesaikan soal persamaan kuadrat ini dengan nilai setiap akar dari persamaan x2 + 8x + 12 = 0 dengan menggunakan rumus ABC

Jawabannya adalah :

x² + 8x + 12 = 0

a = 1

b = 8

c = 12

X1,2 = -b ± √b² – 4ac / 2a

X1,2 = -8 ± √8² – 4.1.12 / 2.1

X1,2 = -8 ± √ 64 – 48 / 2

X1,2 = -8 ± √16 / 2

X1,2 = -8 ± 4 /2

X1,2 = 2(-4 ± 2) / 2

X1,2 = -4 ± 2

Maka,

X1 = -4 + 2 = -2

X2 = -4 – 2 = -6

Maka, kesimpulannya akar dari rumus persamaan kuadrat x1 = -6 atau x2 = -2 serta bisa dituliskan menjadi bentuk HP = {-6,-2}.

2. Tentukan nilai dari akar dari 4x² + 14x + 10 = 0 dengan menggunakan metode pemfaktoran!

Jawabannya adalah:

4x² + 14x + 10 = 0

(2x + 5)(2x + 2) = 0

2x + 5 = 0 atau 2x + 2 = 0

2x = -5 2x = -2

x = -5/2 x = -1

Maka, nilai dari akar tersebut adalah meliputi: {-5/2, -1}

3. Tentukan nilai akar dari x² + 7x + 10 = 0 dengan menggunakan metode pemfaktoran!

Jawabannya adalah:

Cara mudah untuk menentukan rumus persamaan kuadrat menggunakan metode pemfaktoran dari x² + 7x + 10 = 0. Sehingga, dapat diperoleh nilai berupa a = 1, b = 7 dan c = 10.

Selanjutnya, kedua nilainya dapat dicari melalui tahapan berikut setelah memenuhi syarat:

m + n = b = 7

m × n = c = 10

Syarat tersebut perlu dipenuhi agar bisa menentukan nilai m dan n. Untuk itu, maka terbentuk nilai 5 dan 2 yang telah memenuhi syarat. Sehingga hasilnya akan menjadi seperti pada pembahasan di bawah ini:

x² + 7x + 10 = 0

(x + 5)(x + 2) = 0

x + 5 = 0 atau x + 2 = 0

x = -5 x = -2

Maka, kesimpulan hasil himpunan penyelesaian adalah {-5, -2}

Penutup

Demikian tadi materi pembelajaran tentang rumus persamaan kuadrat Matematika. Lengkap dengan pembahasan, contoh soal beserta jawabannya. Dengan banyak berlatih soal, maka Anda akan semakin paham dan hafal tentang cara penerapan rumus persamaan kuadrat Matematika dalam berbagai soal.