5 Contoh Soal Barisan Aritmatika, Lengkap dengan Pengertian dan Rumusnya!

Kotaku.id – Bagi Anda yang duduk di bangku SMP dan SMA/SMK pasti sudah tidak asing lagi dengan materi pelajaran Aritmatika. Ya, Aritmatika merupakan salah satu materi pelajaran Matematika yang akan dipelajari siswa ketika masuk di tingkat SMA. Baik kelas 10, 11`dan kelas 12. Lalu, apa sih sebenarnya yang dimaksud dengan Aritmatika? Dan bagaimana juga rumus-rumusnya.

Aritmetika merupakan sebuah materi pelajaran Matematika atau cabang ilmu matematika yang mempelajari operasi-operasi dasar bilangan. Mulai dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, hingga penerapan hasilnya dalam kehidupan sehari-hari. Aritmatika sendiri dibedakan menjadi dua jenis, yakni barisan Aritmatika dan deret Matematika. Berikut ini penjelasan selengkapnya.

Pengertian Barisan Aritmatika dan Contohnya

Apakah Anda bisa melanjutkan urutan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …? Tiga bagian yang kosong tersebut diisi oleh bilangan berapa saja? Ya, betul sekali, ketiga bagian yang kosong tadi bisa Anda isi dengan bilangan 15, 17, dan 19. Mudah bukan? Sekarang, coba tentukan bilangan berapa yang terletak di urutan ke-20? Nah, Anda pasti mulai pusing bukan?

Untuk mencari bilangan di urutan yang cukup besar, Anda bisa menggunakan aturan barisan dan deret aritmatika, lho. Lalu apa yang dimaksud dengan barisan aritmatika? Barisan aritmatika adalah sebuah baris yang memiliki nilai di setiap sukunya yang diperoleh dari suku sebelumnya. Biasanya menggunakan penjumlahan atau bisa juga pengurangan dengan satu buah bilangan.

Atau dengan kata lain barisan aritmatika adalah barisan atau urutan bilangan yang memiliki selisih tetap. Selisih alias beda antara nilai suku-suku dalam barisan yang berdekatan letaknya selalu sama yakni b. Kemudian nilai suku pertama memiliki lambang a. Contohnya seperti yang telah disebutkan di atas yaitu urutan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, dan seterusnya.

Jika Anda perhatikan, selisih antar bilangan yang satu dengan bilangan lainnya selalu tetap, yaitu 2. Selisih pada barisan aritmatika disebut sebagai beda atau dinyatakan secara matematis sebagai b. Sedangkan untuk setiap bilangan yang menyusun barisan disebut suku atau dinyatakan sebagai Un . Misalnya, 1 = suku ke-1 (U1), 3 = suku ke-2 (U2), 5 = suku ke-3 (U3), dan seterusnya. Sementara itu, suku pertama (U1) pada barisan dinyatakan secara matematis sebagai a.

Pengertian Deret Aritmatika

Sedangkan pengertian deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama (Sn) dari barisan aritmatika. Atau dengan kata lain deret aritmatika merupakan penjumlahan dari suku-suku yang ada di barisan aritmatika tadi. Penjumlahan ini mencangkup suku pertama sampai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika.

Adapun ciri-ciri bilangan deret aritmatika adalah suku-suku bilangan yang dijumlahkan memiliki selisih tetap. Sebagai contohnya adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + …, dan seterusnya.

Lantas, apa yang menjadi perbedaan antara deret aritmatika dengan deret geometri? Perbedaannya adalah deret geometri berlaku untuk barisan geometri, yaitu barisan yang polanya berupa perkalian atau pembagian. Sedangkan ciri barisan aritmatika yang membedakannya dengan barisan geometri adalah selisih sukunya yang selalu tetap.

Rumus Barisan dan Deretan Aritmatika

Untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan, biasanya akan menggunakan rumus barisan aritmatika. Sementara itu, rumus deret digunakan untuk menghitung jumlah n suku pada rentang tertentu. Oleh karena itu, rumus barisan dan deret aritmatika berbeda. Untuk perumusan masing-masing adalah sebagai berikut.

1. Rumus Barisan Aritmatika

Setelah mengetahui pengertiannya, kita bisa lanjut ke rumus dari barisan Aritmatika. Rumus barisan aritmatika tidak bisa terlepas dari ketiga variabel yang telah disebutkan sebelumnya. Yaitu selisih atau beda (b), suku pertama (a), dan posisi suku ke-n (n). Maka. secara matematis, suku ke-n (Un) barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut.

Un = suku ke-n;
a = suku ke-1;
n = posisi suku yang ditanyakan; dan
b = selisih (Un-1 – Un).

Maka, dapat disimpulkan rumus barisan aritmatika adalah sebagai berikut.

Un = a + (n – 1)b
b = Un – Un₋₁
Di mana,
Un = suku ke-n
Un₋₁ = suku sebelum n
a = suku pertama
b = beda
n = bilangan bulat

Setelah mengetahui rumus barisan di atas, berikut ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan contoh berikut. Berapakah suku ke-20 dari barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …?

Dari barisan tersebut diperoleh:

a = 1
b = 2

Suku ke-20 dinyatakan sebagai U20. Dengan demikian, suku ke-20 dari barisan tersebut adalah 39.

2. Rumus Deret Aritmatika

Untuk rumus deret juga masih memuat variabel yang sama dengan barisan, seperti variabel a, b, dan n. Secara matematis, rumus deret aritmatika dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

Sn = jumlah n suku pertama;
n = urutan suku;
a = suku pertama; dan
b = selisih atau beda antarsuku.

Ada pula rumus untuk perhitungan deret berikut ini:

Sn = n/2 (a + Un)
atau jika masih bingung bisa disubtitusikan menjadi Un = a + (n – 1)b, sehingga menjadi:
Sn = n/2 (a + (a + (n – 1) b))
Sn = n/2 (2a + (n – 1) b)

Setelah mengetahui rumus deret, maka selesaikanlah contoh soal deret berikut ini.
Dari rumus di atas, kira-kira berapa ya jumlah semua suku dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15?

Mari, kita coba uraikan satu per satu.
Suku pertama deret tersebut adalah 1, sehingga a = 1.
Selisih setiap sukunya adalah 2, sehingga b = 2.
Banyaknya suku = 8, sehingga n = 8.
Dengan demikian, jumlah semua suku tersebut adalah 64.

3. Perbedaan Barisan dan Deret

Dari pengertian dan rumus di atas, tentunya Anda sudah tahu perbedaan barisan dan deret? Secara sederhananya, kalau barisan masih berupa urutan bilangannya, tapi untuk deret sudah berupa operasi penjumlahan dari bilangan tersebut. Selain itu dari sisi rumus juga sudah berbeda.

Rumus barisan digunakan untuk menentukan suku ke-n dari pola suatu bilangan aritmatika. sementara rumus deret digunakan untuk menentukan hasil penjumlahan suku-suku atau bilangan aritmatika. Lalu, apa saja manfaat barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari? Berikut ini adalah beberapa contoh manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari.

• Dapat menentukan banyaknya korek api batangan dalam menyusun pola mainan segitiga.
• Dapat menentukan banyaknya anggota penari, jika susunannya membentuk barisan aritmatika.
• Menentukan banyaknya penonton di setiap tingkatan tribun. Karena pada umumnya, setiap tingkat tribun memiliki jumlah kursi yang berbeda-beda.

5 Contoh Soal Barisan Deret Aritmatika dan Jawabannya

Setelah mengetahui pengertian dan rumus-rumusnya, agar lebih paham dan mengasah kemampuan Anda tentang rumus barisan dan deret di atas. Berikut ini kami berikan beberapa contoh soal perhitungan barisan dan deret berikut ini.

1. Contoh Soal Deret Aritmatika

Berikut ini adalah contoh soal deret untuk lebih mengasah kemampuan dan pemahaman Anda.

Pada gedung rapat, terdapat kursi 10 baris kursi dengan pola tertentu. Jumlah kursi di baris pertama adalah 25. Untuk baris kedua, bertambah sebanyak 6 kursi. Tambahan yang sama berlaku pada baris-baris selanjutnya. Dan semua kursinya terisi penuh oleh peserta rapat. Jika ¼ dari peserta rapatnya berjenis kelamin laki-laki, makaberapakah jumlah peserta perempuan?

Pembahasan:

Diketahui:

n = 10
a = 25
b = 6

Pertanyaan: jumlah peserta rapat perempuan =…?

Jawaban:

Mula-mula, Anda harus mencari banyaknya kursi di gedung rapat tersebut. Gunakan persamaan pada deret. Karena semua kursi terisi penuh, maka seluruh peserta rapatnya berjumlah 520. Jika ¼ peserta rapatnya berjenis kelamin laki-laki, maka ¾ pesertanya berjenis kelamin perempuan. Dengan demikian, jumlah peserta perempuan dalam rapat tersebut adalah 390 orang.

2. Contoh Soal Barisan Aritmatika

Berikut ini adalah contoh sol barisan yang bisa menambah pemahaman Anda.

bertambah menjadi 24 ekor ayam. Di hari ketiga persediaan ayamnya menjadi 28 ekor. Seminggu pertama buka, jumlah ayam ditambah dengan penambahan tetap. Berapakah jumlah ekor ayam yang disediakan Pak Andi pada hari ketujuh?

Pembahasan:

Diketahui:
Persediaan ayam hari pertama (U1) = a = 20
Persediaan ayam hari kedua (U2) = 24
Persediaan ayam hari ketiga (U3) = 28
Ditanya: U7 =…?

Jawaban:

Mula-mula, Anda harus mencari selisihnya
b = 24 – 20 = 4 ekor ayam

Dengan demikian, jumlah ekor ayam yang disediakan Pak Andi pada hari ketujuh adalah 44 ekor ayam.

3. Contoh Soal 3

Rumus suku ke-n dari barisan 5, -1, -7, -14,….dst adalah

Diketahui: a = 5 ; b = -6
Pertanyaan: rumus suku ke-n dari barisan bilangan di soal?

Jawaban:

Un = a + (n – 1) b
= 5 + (n – 1) (-6)
= 5 – 6n + 6
= 11 – 6n

Jadi dapat disimpulkan rumus untuk suku ke-n dari barisan di atas adalah Un = 11 – 6n.

4. Contoh Soal 4

Suku ke-30 dari barisan 7, 5, 3, 1,…dst adalah

Diketahui: a = 7 ; b = -2
Pertanyaan: U30?

Jawaban:

Un = a + (n – 1) b
U30 = 7 + (30 – 1) (-2)
U30 = 7 + (29 x -2)
U30 = 7 + (-58)

U30 = -51

Jadi untuk suku ke-30 dari barisan bilangan di atas adalah -51

5. Contoh Soal 5

Carilah rumus jumlah n suku pertama dari deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + Un ialah…

Diketahui: a = 2 ; b = 2
Pertanyaan: Rumus jumlah n suku pertama dari barisan bilangan dalam soal di atas adalah?

Jawaban:

Sn = n/2 (2a + (n – 1) b)
Sn = n/2 (2.2 + (n – 1) 2)
Sn = n/2 (4 + 2n – 2)
Sn = n/2 (2 + 2n)
Sn = n/2 x 2 (1 + n)
Sn = n (1 + n)
Sn = n + n kuadrat

Maka dapat dipastikan jika rumus dari jumlah n suku pertama barisan bilangan tersebut ialah Sn = n + n kuadrat.

5. Contoh Soal 5

Dalam sebuah gedung pernikahan telah tersedia kursi tamu dengan baris paling depan terdiri dari 15 kursi, baris kedua 17 kursi. Pada baris ketiga berisi 19 kursi, baris keempat berisi 21 kursi dan begitu seterusnya. Coba Anda hitung berapa banyak kursi yang ada di baris ke 8?

Diketahui: a = 15 ; b = 2

Pertanyaan: U8? (jumlah kursi pada baris ke 8)

Jawaban:

Un = a + (n – 1) b
U8 = 15 + (8 – 1) 2
U8 = 15 + (7) 2
U8 = 15 + 14
U8 = 29

Maka, dapat dipastikan jika pada baris ke 8 nanti akan ada sebanyak 29 kursi yang berjajar siap untuk menyambut para tamu.

Kesimpulan

Demikian tadi 5 contoh soal barisan dan deret aritmatika lengkap dengan pengertian dan rumus-rumusnya. Dapatkan lebih banyak contoh soal lainnya, berbagai informasi dan berita menarik lainnya seputar daerah Bogor dan Indonesia di Kotaku.id.