Sistem Persamaan Linear, Pengertian, Jenis dan 5 Contoh Soalnya

Kotaku.id – Sebenarnya secara sadar maupun tidak, ternyata kita sering menggunakan sistem persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari. Bahkan, kita sering menggunakannya dalam berbagai aktivitas. Seperti salah satunya untuk aktivitas penganggaran biaya. Sistem persamaan linear sendiri adalah merupakan suatu persamaan aljabar.

Sedangkan pengertian aljabar adalah cabang Matematika yang menggunakan simbol dan huruf tertentu untuk mewakili nilai dari suatu materi. Dan para siswa biasanya sudah mendapatkan materi ini sejak di bangku SMP atau Sekolah Menengah Pertama. Sejak di bangku SMP, para siswa sudah mulai mengenal berbagai macam soal tentang sistem persamaan linear.

Dan contoh soal sistem persamaan linear ini berguna untuk mengasah kemampuan dalam memecahkan persoalan terkait persamaan aljabar ini. Tiap suku dalam persamaan linear ini mengandung konstanta atau perkalian konstanta dan dikaitkan dengan variabel tunggal. Berikut ini adalah pengertian, sifat dan jenis sistem persamaan linear berikut contoh soalnya.

Pengertian Sistem Persamaan Linear, Unsur dan Sifat-sifatnya

Adapun pengertian sistem persamaan linear adalah salah satu persamaan dari ilmu aljabar, yang mana persamaan ini sukunya mengandung konstanta dengan variabel tunggal. Mempunyai sebutan linear karena hubungan-hubungan matematis ini digambarkan dengan garis lurus dalam sistem koordinat kartesius. Dikutip dari buku Linear Programming dengan R. Aplikasi untuk Teknik Industry.

Yang merupakan karya Ilyas Masudin, Muhammad Faisal Ibrahim, Gilang Yandeza. Menjelaskan bahwa pengertian sistem persamaan linear adalah sistem persamaan aljabar yang pada setiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Berdasarkan penjelasan di atas, sistem persamaan linear pada umumnya memiliki variabel tunggal.

1. Unsur-unsur Persamaan Linear

Sebenarnya persamaan linear memiliki lawan, yaitu pertidaksamaan linear. Dan sebelum membahas lebih lanjut, sebaiknya kita membahas tentang unsur-unsur persamaan linear. Yang terdiri dari Varibel. Koefisien, Konstanta dan Suku. Berikut ini penjelasannya.

• Variabel adalah pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya, dan biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf seperti a, b, c dan lain sebagainya.
• Koefisien adalah bilangan yang menjabarkan jumlah variabel yang sejenis, biasanya terletak di depan variabel.
• Konstanta adalah nilai bilangan konstan yang tidak diikuti variabel belakangnya.
• Suku adalah bagian dari suatu persamaan yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta.

2. Sifat-sifat Sistem Persamaan linear

Sistem persamaan linear mempunyai beberapa sifat, antara lain berikut ini.

• Perkalian dan pembagian bilangan kedua ruas tidak mengubah nilai persamaan.
• Penjumlahan dan pengurangan bilangan kedua ruas tidak akan mengubah persamaan nilai.
• Nilai persamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.
• Dan suatu persamaan jika di pindah ruas, maka penjumlahan berubah menjadi pengurangan. Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.

Macam atau Jenis Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear mempunyai beberapa macam atau jenis, antara lain berikut ini.

1. Persamaan Linear Satu Variabel

sesuai dengan namanya persamaan linear ini hanya mengandung satu variabel berpangkat 1. Dan berbentuk kalimat terbuka atau kalimat yang belum tahu kebenarannya, atau bisa jadi benar, dan juga bisa jadi salah. Adapun bentuk umumnya, yakni ax + b = 0.

• a : koefisien
• b : konstanta
• x : variabel
• a dan adalah bilangan riil dan bukan nol.
• variabel tidak selalu menggunakan lambang x, bisa juga menggunakan lambang y atau yang lainnya.

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sesuai dengan namanya, sistem persamaan dua variabel merupakan sistem persamaan dengan variabel yang berjumlah dua dengan berpangkat 1. Persamaan linear ini menggunakan relasi = dan tidak ada perkalian variabel di setiap persamaan. Tanpa disadari, sebenarnya banyak orang yang menggunakan sistem persamaan linear ini dalam aktivitas kehidupan sehari-hari.

Biasanya orang menggunakan persamaan ini untuk menyelesaikan masalah sederhana dalam kehidupan sehari-hari. Terutama dalam aktivitas jual beli, dan biasanya persamaan ini digunakan untuk mencari keuntungan. Untuk menyelesaikan persamaan ini, sebenarnya bisa menggunakan dua metode. Yaitu metode substitusi yang digunakan dengan cara mengubah satu variabel dengan variabel persamaan lain.

Dan yang kedua adalah metode eliminasi, yaitu dengan cara menghapus salah satu variabel dalam persamaan. Bentuk umum dari persamaan linear dua variabel ini adalah ax + by = c. Yang mana a dan b adalah bilangan bulat bukan nol dan c adalah konstanta.

3. Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel ini adalah merupakan bentuk perluasan dari persamaan linear dua variabel. Sama halnya seperti sistem persamaan linear dua variabel, persamaan ini juga bisa diselesaikan dengan metode substitusi dan metode eliminasi. Biasanya orang menggunakan sistem ini untuk menentukan titik potong.

Dan hal ini sangat bermanfaat seperti untuk mendirikan bangunan supaya lebih presisi. Adapun bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel ini adalah ax + by + cz = d. Yang mana a, b, dan c adalah bilangan bulat bukan nol dan d adalah konstanta.

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Liniear

Persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linear adalah lantaran hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam sistem koordinat kartesius. Dan jika terdapat lebih dari satu persamaan linear, maka persamaan tersebut akan menjadi sebuah sistem. Berikut ini adalah beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linear.

1. Metode Grafik

Metode penyelesaian sistem persamaan linear yang pertama adalah dengan menggunakan metode grafik. Langkah pertama untuk melakukannya adalah dengan menentukan grafik garis dari masing-masing persamaan. Kemudian, menentukan titik potong dari kedua garis.

2. Metode Eliminasi

Selanjutnya adalah dengan menggunakan metode eliminasi. Cara melakukan metode ini adalah dengan menghapus atau menghilangkan salah satu variabel dalam suatu persamaan. Seperti misalnya, jika ada persamaan a dan b. Maka, untuk mencari nilai a, harus menghilangkan b terlebih dahulu.

3. Metode Substitusi dalam Sistem Persamaan Linear

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear selanjutnya, adalah dengan menggunakan metode substitusi. Metode ini dilakukan dengan cara mengubah satu variabel dengan variabel dari persamaan lain.

4. Metode Eliminasi-Substitusi

Dan metode penyelesaian sistem persamaan linear yang terakhir adalah dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi. Sesuai dengan namanya, metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi dan metode substitusi. Cara melakukannya adalah, yang pertama lakukan eliminasi atau menghapus salah satu variabel. Kemudian, penyelesaian dari variabel yang diperoleh disubstitusikan pada salah satu persamaan.

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear

Setelah mengetahui tentang serba-serbi sistem persamaan linear, maka selanjutnya kita bahas tentang contoh soal persamaan linear. Berikut ini adalah beberapa contoh soal persamaan linear dikutip dari berbagai sumber.

1. Contoh 1

1. Budi hendak membuat rujak bawang untuk dua orang temannya. Maka, dia membeli 7 buah bawang dan 1 kg gula merah. Jika harga 1 kg gula merah adalah Rp 15.000 dan Bayu membayar Rp 50.000, berapakah harga satu buah bawang?

Jawabannya adalah :

Jika harga 1 kg gula adalah Rp15.000,00 dan misalkan bawang = x, maka sistem persamaan linearnya adalah sebagai berikut:

7x + 15.000 = 50.000

Sehingga nilai x yang dimaksud adalah

7x + 15.000 = 50.000

x = 5.000

Jadi, harga sebuah bawang adalah 5000 rupiah.

2. Sebuah tempat parkir untuk mobil dan motor dapat menampung hingga 20 kendaraan. Jumlah roda seluruhnya ada 60 buah. Jika banyak motor dinyatakan dengan x dan banyak mobil adalah y, sistem persamaan linear dua variabel dari pernyataan di atas adalah?

Jawabannya adalah :

X = motor

y = mobil

Kendaraan yang dapat ditampung: 20. Artinya, berapa pun jumlah motor dan mobil jika ditambahkan tidak boleh lebih dari 20.

x + y = 20

Jumlah roda kendaraan adalah 60.

ax + by = 60

a dan b merupakan koefisien. Di mana a merupakan jumlah roda pada motor, dan b adalah jumlah roda pada mobil.

2x + 4y = 60

Sehingga persamaan linear dua variabel untuk soal di atas adalah x + y = 20 dan juga 2x + 4y = 60.

2. Contoh Sistem Persamaan Linear Kedua

Berikut ini adalah contoh persamaan linear yang selanjutnya.

3. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut:

3x + 2y = 10

9x + 7y = 43

Jawabannya adalah :

Langkah 1

Nyatakan ke dalam variabel y:

3x + 2y = 10 <> y = 1/2 (10-3x)

y – 1/2 (10-3x) <> 9x-7y = 43

Langkah 2

Selesaikan nilai x dan y:

9x-7 x 1/2 (10-3x) = 43

x = 4

Langkah 3

Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan:

x = 4 > y = 1/2 (10-3x) = 1/2 (10-3.4)

= 1/2 (-2) = (-1)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {4,-1}.

4. Intan membeli sebuah kue dengan harga Rp 10.000. Berapa jumlah kue yang bisa dibeli oleh Intan jika dia membawa uang Rp 50.000 dan ingin dihabiskan seluruhnya?

Jawabannya adalah :

10.000x = 50000

x = 50000/10.000

x = 5

Maka jumlah kue yang bisa dibeli oleh Intan adalah 5 potong.

3. Contoh Ketiga

Berikut ini adalah contoh persamaan linear yang selanjutnya.

5. Ica membeli 2 buku dan 2 pensil dengan harga Rp20.000. Lalu, Nia membeli 3 buku dan 3 pensil dengan harga Rp30.000. Maka berapakah Nanda harus membayar jika dia membeli 3 buku dan 2 pensil?

Jawaban:

Buku = x

Pensil = y

Ica : 2x+2y=20.000

Nia : 3x+4y=35.000

Nanda : 3x+2y = ?

Untuk menyelesaikan persoalan ini bisa diselesaikan dengan metode eliminasi. Caranya adalah sebagai berikut:

2x+2y=20.000

3x+4y=35.000

Untuk menghilangkan variabel x, maka harus mengalikan 3 untuk persamaan pertama dan 2 untuk persamaan yang kedua. Seperti berikut ini.

2x+2y=20.000 | x 3

3x+4y=35.000 | x 2

6x+6y=60.000

6x+8y=70.000

Selanjutnya, kurangkan keduanya. Maka menghasilkan seperti ini

6x+6y=60.000

6x+8y=70.000

-2y = -10.000

y = -10.000/-2

y = 5.000

Kemudian untuk mencari nilai x, adalah dengan menggunakan metode substitusi yaitu dengan cara berikut ini:

2x+2y= 20.000

2x+2(5.000) = 20.000

2x+10.000 = 20.000

2x= 20.000-10.000

2x= 10.000

x= 10.000/2

x=5.000

Maka harga buku (x) adalah Rp5.000 dan harga pensil (y) adalah Rp.5000. Untuk menjawab biaya yang harus dikeluarkan Nanda maka dapat dikerjakan seperti ini:

3x+2y = ?

3(5.000)+2(5.000) = ?

15.000+10.000 = 25.000

Maka uang yang harus dikeluarkan oleh Nanda untuk membeli 3 buku dan 2 pensil adalah Rp25.000.

Penutup

Demikian tadi pembahasan tentang sistem persamaan linear, mulai dari definisi, unsur-unsur, sifat-sifat dan juga macam-macamnya. Lengkap dengan contoh soal persamaan linear dan kunci jawabannya sebagai referensi pembelajaran para siswa, khususnya siswa SMP. Baik di rumah maupun di sekolah.